Jak otočit logaritmus

Možná jste už někdy narazili na \log_a{b} = {{1} \over {log_b{a}}} a říkali jste si proč tomu tak je. Zkusím to vysvětlit. Tedy, alepoň doufám. Matematika není zrovna má silná stránka a ni oblíbená.

Napřed si to jen ukážeme. Proč by to tak mohlo být. Tak kolik je tedy {1 \over \log_b{a}}?

{1 \over \log_b{a}} = {\log_b{b} \over \log_b{a}} = \log_a{b}

Využili jsme znalosti, že \log_z{z} = 1 a že \log_a{b} = {\log_z{b} \over \log_z{a}} pro jiný základ z.

První část (tedy \log_z{z} = 1) je nám většinou jasná z definice:

y = \log_z{a} ~~~\iff~~~ a = z^y


Y tedy musí být 1 neboť a musíme umocnit na prvou, abychom získali opět a.

Tak a teď se zkusíme zamyslet na druhou částí. Zajímá nás hodnota L v případě

L = {1 \over \log_a{b}}

upravíme a získáme:

L \cdot \log_a{b} = 1

což je:

\log_a{b^L} = 1

a tedy dle definice:

a^1 = b^L

což už víme, že je pouze jiný zápis pro \log_b{a}.

Ale pojďme na to i trochu jinak a začněme znovu.

\log_a{b} = {1 \over \log_b{a}} = {\log_b{b} \over \log_b{a}}

S touto částí již všichni souhlasíme a tak můžeme pokračovat dál. Vezmeme ji jako rovnici a vynásobíme ji pomocí log_b{a}.

\log_a{b} \cdot \log_b{a} = \log_b{b}

Což je:

b^{\log_a{b} \cdot \log_b{a}} = b

A upravujeme dále pomocí z^{\log_z{r}} = r

a^{\log_a{b}} = b

a dostáváme

b = b

Rovnost b = b určitě platí. Navíc všechny kroky můžeme provést i v opačném pořadí. Vidíme tedy proč jde změnit \log_a{b} na \log_b{a}. Konkrétně \log_a{b} = {1 \over {\log_b{a}}}.

Čas plyne

Čas plyne a věci se mění. Mění se k lepšímu i k horšímu. Některé změny jsou jasné, jiné pozorovatelné a posledního hloučku si ani nevšimneme, ale změnily se! Určitě se změnily! Otázkou jen je, jak moc se změnily a kterým směrem. Pokud bychom mohli vyjádřit celý náš život pomocí bodů v prostoru a všechny změny odpovídaly síle, která by byla určená vektorem v tomto prostoru, jaký by byl celkový vektor? Jaký by byl směr a velikost vektoru, který určuje náš život? Hýbeme se vůbec nebo stojíme na místě a části našeho života rotují kolem pomyslného středu? Kdo ví?

je zajímavé jakým směrem se mohou ubírat myšlenky. Je zajímavé jakým způsobem získáváme inspiraci, vědomosti a jakým stylem nabýváme poznání. Všichni dobře víme, že to, co prožijeme na vlastní kůži na nás má největší vliv. Je to věc, myšlenka či událost, co velmi invazivně, velmi tvrdě a surově formuje naši osobnost. Poznání z knih, filmů a her je jemné, milé, jako pohlazení, které jen nepatrně tvaruje křivky na povrchu naší osobnosti.

A bolest? Bolest ze ztráty, kterou jsme pocítili na vlastní kůži, ta je obzvláště krutá. Zaryje se hluboko do nás a dlouhé roky se snaží rozpínat naši osobnost směry, které jsme ani neznali. Směry, které se nám mnohdy ani nelíbí, ale nemůžeme si pomoci a musíme se podvolit. Drobná pohlazení se snaží zbrzdit rozpínání, zbrzdit postup, ale je to téměř marné.

A tak pokroucené kuličky, formy naší osobnosti, podoba nás samých pluje neznámým prostorem, či stojí v nekonečné prázdnotě a my stále žijeme své prosté životy dál.

Uložení webu

Občas si člověk potřebuje uložit nějaký web, aby si jej mohl prohlížet offline, nebo proto, že tuší, že by mohl nastat jeho výpadek. Metod je samozřejmě velké množství, ale jednou z těch nejjednodušších je použití programu wget.

Instalace na linuxu je velice jednoduchá a dost často je wget přítomen jako předinstalovaný balíček. Jak se instaluje na Windows jsem nikdy nezjišťoval, ale myslím, že i pro něj existuje.

wget \
--recursive \
--no-clobber \
--page-requisites \
--html-extension \
--convert-links \
--restrict-file-names=unix \
--domains example.com \
--no-parent \
-e robots=off
www.example.com

Z příkladu je vidět, že jeho použití je skutečně jednoduché. --recursive říká, že se bude procházet celý web --no-clobber, že se nemají přepisovat soubory. --page-requisites je pro nás důležitý neboť zajišťuje, že se kromě HTML stáhne i CSS a obrázky. --html-extension přidává souborům koncovku html a --convert-links zajišťuje, že odkazy budou lokální, tedy budeme moci procházet stažený obsah. --restict-file-names není zas tak důležitá volba, ale předcházíme tak tomu, že by soubor měl název, který není použitelný na našem systému. --domains určuje doménu ze které se stahuje (aby jsme nestáhli celý internet). Volba --no-parent pak říká, že se nemají stahovat předci. Pokud tedy budeme v mypage.org/user/hefay tak se nebude stahovat obsah jako mypage.org/user. A -e robots=off dohromady tvoří volbu, která zakáže používání robots.txt. A konečně, poslední volbou je web, který stahujeme.

Dunící kov či znějící zvon?

Přemýšlím o všem možném. O tom kdo jsem byl, kdo jsem a kým budu. O tom co činím, co udělat bych měl. Rozjímám a nenacházím cesty z labyrintu, který mě vězní ve vlastním nitru. Možná, opravdu jen možná, bych nalezl útěchu v myšlenkách druhých. Možná bych se poučil. A tak brouzdám texty a hledám náznak spásy.

V textech, projevech myšlenek druhých, se člověk však snadno ztratí. Opomíjí své vlastní přesvědčení, své vlastní tužby. Přiklání se k životu autora, k jeho smýšlení a ctnostem.

Snad jen závěrem bych uvedl krásný úryvek, který snad každý zná. Je poutavý a přilne k člověku.

„Kdybych mluvil jazyky lidskými i andělskými, ale lásku bych neměl, jsem jenom dunící kov a znějící zvon.
Kdybych měl dar proroctví, rozuměl všem tajemstvím a obsáhl všecko poznání, ano kdybych měl tak velikou víru, že bych hory přenášel, ale lásku bych neměl, nic nejsem.
A kdybych rozdal všecko, co mám, ano kdybych vydal sám sebe k upálení, ale lásku bych neměl, nic mi to neprospěje.
Láska je trpělivá, laskavá, nezávidí, láska se nevychloubá a není domýšlivá.
Láska nejedná nečestně, nehledá svůj prospěch, nedá se vydráždit, nepočítá křivdy.
Nemá radost ze špatnosti, ale vždycky se raduje z pravdy.
Ať se děje cokoliv, láska vydrží, láska věří, láska má naději, láska vytrvá.
Láska nikdy nezanikne.“
― 1Kor 13, 1–8

Podivná rovnost

Na nedávné hodině matematiky jsem s překvapením zjistil, že 1.\overline{9} = 2.

Důkaz byl jednodušší než jsem čekal.

Vytvoříme si rovnici s a x bude námi hledané číslo.
1.\overline{9} = x
Vynásobíme ji deseti.
19.\overline{9} = 10x
Odečteme od sebe tyto dvě rovnice.
18 = 9x
A vyjádříme x.
x = {18 \over 9} = 2

Také vám to narušilo celé vnímání matematiky a světa? Občas se už ani divit neumím.

Nejhorší choroba dneška

Krásný citát, který mi byl zaslán v jedné soukromé konverzaci. Tak krásný, že se o něj musím podělit.

„Dnes není nejhorší nemocí malomocenství nebo tuberkulóza, ale pocit, že člověk je nechtěný.“
― Matka Tereza

Přijde mi to až smutně pravdivé. V potaz musíme brát i to, že žila ve dvacátém století. Již tehdy to dozajista nebyla choroba nová a nyní, ve dvacátém prvním století, zhruba dvě desítky let po její smrti nás stále sužuje.

Na některé choroby jsme dávno našli lék. Některé pokládáme prozatím za neléčitelné. Bohužel existují i choroby jako je tato, ty které jsou díky našemu životnímu stylu na rozkvětu. Obklopujeme se lidmi v přeplněných městech ale stále jsme sami. Osamocené bytosti putující rozpálenými asfaltovými ulicemi jenž čeká jen smrt.

Uvědomme si, že nejsme sami. Nejsme tak opuštění jak se nám zdá. Co je možná ještě důležitější, tak nikdy nikoho neopouštějme mi!

Musím však konstatovat, že i já jsem postižen chorobou jenž zmiňovala, že i já jsem byl nakažen. Nakažen svou myslí, uvažováním a uzavřeností.