Archiv pro štítek: Matematika

Možná jste už někdy narazili na $\log_a{b} = {{1} \over {log_b{a}}}$ a říkali jste si proč tomu tak je. Zkusím to vysvětlit. Tedy, alepoň doufám. Matematika není zrovna má silná stránka a ni oblíbená.

Napřed si to jen ukážeme. Proč by to tak mohlo být. Tak kolik je tedy ${1 \over \log_b{a}}$?

$${1 \over \log_b{a}} = {\log_b{b} \over \log_b{a}} = \log_a{b}$$

Využili jsme znalosti, že $\log_z{z} = 1$ a že $\log_a{b} = {\log_z{b} \over \log_z{a}}$ pro jiný základ z.

První část (tedy $\log_z{z} = 1$) je nám většinou jasná z definice:

$$y = \log_z{a} ~~~\iff~~~ a = z^y$$

Y tedy musí být 1 neboť a musíme umocnit na prvou, abychom získali opět a.

Tak a teď se zkusíme zamyslet na druhou částí. Zajímá nás hodnota L v případě

$$L = {1 \over \log_a{b}}$$

upravíme a získáme:

$$L \cdot \log_a{b} = 1$$

což je:

$$\log_a{b^L} = 1$$

a tedy dle definice:

$$a^1 = b^L$$

což už víme, že je pouze jiný zápis pro $\log_b{a}$.

Ale pojďme na to i trochu jinak a začněme znovu.

$$\log_a{b} = {1 \over \log_b{a}} = {\log_b{b} \over \log_b{a}}$$

S touto částí již všichni souhlasíme a tak můžeme pokračovat dál. Vezmeme ji jako rovnici a vynásobíme ji pomocí $log_b{a}$.

$$\log_a{b} \cdot \log_b{a} = \log_b{b}$$

Což je:

$$b^{\log_a{b} \cdot \log_b{a}} = b$$

A upravujeme dále pomocí $z^{\log_z{r}} = r$

$$a^{\log_a{b}} = b$$

a dostáváme

$$b = b$$

Rovnost $b = b$ určitě platí. Navíc všechny kroky můžeme provést i v opačném pořadí. Vidíme tedy proč jde změnit $\log_a{b}$ na $\log_b{a}$. Konkrétně $\log_a{b} = {1 \over {\log_b{a}}}$.

Na nedávné hodině matematiky jsem s překvapením zjistil, že $1.\overline{9} = 2$.

Důkaz byl jednodušší než jsem čekal.

Vytvoříme si rovnici s a $x$ bude námi hledané číslo.
$1.\overline{9} = x$
Vynásobíme ji deseti.
$19.\overline{9} = 10x$
Odečteme od sebe tyto dvě rovnice.
$18 = 9x$
A vyjádříme $x$.
$x = {18 \over 9} = 2$

Také vám to narušilo celé vnímání matematiky a světa? Občas se už ani divit neumím.