Jak otočit logaritmus

Možná jste už někdy narazili na \log_a{b} = {{1} \over {log_b{a}}} a říkali jste si proč tomu tak je. Zkusím to vysvětlit. Tedy, alepoň doufám. Matematika není zrovna má silná stránka a ni oblíbená.

Napřed si to jen ukážeme. Proč by to tak mohlo být. Tak kolik je tedy {1 \over \log_b{a}}?

{1 \over \log_b{a}} = {\log_b{b} \over \log_b{a}} = \log_a{b}

Využili jsme znalosti, že \log_z{z} = 1 a že \log_a{b} = {\log_z{b} \over \log_z{a}} pro jiný základ z.

První část (tedy \log_z{z} = 1) je nám většinou jasná z definice:

y = \log_z{a} ~~~\iff~~~ a = z^y


Y tedy musí být 1 neboť a musíme umocnit na prvou, abychom získali opět a.

Tak a teď se zkusíme zamyslet na druhou částí. Zajímá nás hodnota L v případě

L = {1 \over \log_a{b}}

upravíme a získáme:

L \cdot \log_a{b} = 1

což je:

\log_a{b^L} = 1

a tedy dle definice:

a^1 = b^L

což už víme, že je pouze jiný zápis pro \log_b{a}.

Ale pojďme na to i trochu jinak a začněme znovu.

\log_a{b} = {1 \over \log_b{a}} = {\log_b{b} \over \log_b{a}}

S touto částí již všichni souhlasíme a tak můžeme pokračovat dál. Vezmeme ji jako rovnici a vynásobíme ji pomocí log_b{a}.

\log_a{b} \cdot \log_b{a} = \log_b{b}

Což je:

b^{\log_a{b} \cdot \log_b{a}} = b

A upravujeme dále pomocí z^{\log_z{r}} = r

a^{\log_a{b}} = b

a dostáváme

b = b

Rovnost b = b určitě platí. Navíc všechny kroky můžeme provést i v opačném pořadí. Vidíme tedy proč jde změnit \log_a{b} na \log_b{a}. Konkrétně \log_a{b} = {1 \over {\log_b{a}}}.

Podivná rovnost

Na nedávné hodině matematiky jsem s překvapením zjistil, že 1.\overline{9} = 2.

Důkaz byl jednodušší než jsem čekal.

Vytvoříme si rovnici s a x bude námi hledané číslo.
1.\overline{9} = x
Vynásobíme ji deseti.
19.\overline{9} = 10x
Odečteme od sebe tyto dvě rovnice.
18 = 9x
A vyjádříme x.
x = {18 \over 9} = 2

Také vám to narušilo celé vnímání matematiky a světa? Občas se už ani divit neumím.